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Secuencia de números favorita de la madre naturaleza: el Fibonacci

Secuencia de números favorita de la madre naturaleza: el Fibonacci


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La espiral de semillas en una piña, los frutos de una piña. ¿Qué tienen en común? Ambos se ajustan a la secuencia de Fibonacci.

Como cualquiera que haya leído el thriller de Dan Brown El codigo Da Vinci o visto que la película lo sabe, la secuencia de Fibonacci es una secuencia de números creada sumando dos números enteros secuenciales, comenzando en 0.

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La secuencia se puede describir mediante la ecuación:
Fnorte = Fnorte - 1 + Fnorte - 2, dónde norte > 1 entonces,
F0 = 0, F1 = 1 y F2 = F1 + F0 = 1.
La secuencia de números que comprende la secuencia de Fibonacci es: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Apodado Fibonacci

La persona que llevó la secuencia de Fibonacci a las audiencias occidentales es Leonardo de Pisa, quien nació alrededor 1170 d.C. y murió alrededor 1250 d.C. Más tarde fue apodado Fibonacci, de Filius Bonacci, que significa 'hijo de Bonacci'. De hecho, la secuencia había sido deducida por matemáticos indios y árabes mil años antes.

En 1202, Fibonacci describió la secuencia en su Liber Abaci ('Libro de cálculo'), que fue pensado como una guía matemática para comerciantes, para que pudieran calcular pérdidas y ganancias y saldos de préstamos.

En Liber Abaci, Fibonacci introdujo la secuencia con un problema que involucraba conejos. El problema comienza con un conejo macho y una hembra. Después de un mes, maduran y producen una camada de un conejo macho y una hembra. Un mes después, esos conejos se reproducen y tienen una camada de un conejo macho y una hembra, y así sucesivamente. La pregunta que hizo Leonardo fue, ¿cuántos conejos tendrías después de un año? La respuesta, resulta, es 144 - y la fórmula utilizada para llegar a esa respuesta es lo que ahora se conoce como la secuencia de Fibonacci.

Cuadrados y arcos

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a examinar de nuevo la secuencia de Fibonacci y se dieron cuenta de que si dibujabas cuadrados de los números de Fibonacci y luego colocabas los lados de los cuadrados juntos, se formaba el nuevo lado de un cuadrado más grande. Esto se puede repetir infinitamente.

Luego se dieron cuenta de que si dibujabas arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados, obtienes una espiral llamada espiral logarítmica. Esta espiral se ve en muchos fenómenos naturales, como en la disposición de hojas en un tallo o semillas en una piña.

Pero eso no es todo. Los números de Fibonacci aparecen en todo tipo de lugares de la naturaleza. Algunas flores tienen 3, 5, 8 o 13 pétalos, donde se coloca cada pétalo para permitir la máxima exposición a la luz solar. Las filas de semillas en girasoles y piñas a menudo se suman a los números de Fibonacci, porque esa es la forma más eficiente de empacar tantas semillas como sea posible en un espacio pequeño.

La proporción áurea

Si divide ninguna Número de Fibonacci por el anterior en la secuencia, obtienes una proporción de aproximadamente 1.618033..., que se llama Proporción áurea. A medida que los números de Fibonacci aumentan, la relación se acerca aún más a 1.618. Por ejemplo, la razón de 3 a 5 es 1.666, la relación de 13 a 21 es 1.625, y la relación de 144 a 233 es 1.618.

La proporción áurea se obtiene dividiendo una línea en dos partes, un y segundo, de modo que la parte más larga dividida por la parte más pequeña también sea igual a la longitud total dividida por la parte más larga. Es decir:

La letra griega "phi" representa la proporción áurea, que también se conoce como la media áurea, la sección áurea, la proporción divina y la sección divina. Es 1.6180339887..., un número irracional que también es igual a la solución de la ecuación cuadrática:
X2 - X - 1 = 0, con un valor de

El rectángulo dorado es un rectángulo cuyos lados son números de Fibonacci, como en la imagen de abajo. Por ejemplo, un = 8 y segundo = 5, de modo que un + segundo = 13 y los ratios rinden: 1.6180339887498948420… El Rectángulo Dorado se considera una de las formas geométricas más satisfactorias visualmente, y se usa comúnmente en el arte, especialmente en pinturas y esculturas renacentistas.

Leonardo Da Vinci usó la Proporción Áurea en las proporciones de su "Última Cena", en su "Hombre de Vitruvio" y en la "Mona Lisa". Miguel Ángel, Rafael, Rembrandt, Georges Seurat y Salvador Dalí también incorporaron la Proporción Áurea en sus obras.

La proporción áurea quizás incluso se pueda ver en la Gran Pirámide de Giza, donde la longitud de cada lado de la base de la pirámide es de 756 pies y su altura es de 481 pies. La relación entre la base y la altura es aproximadamente 1.5717, que está cerca de la proporción áurea.

Se dice que el antiguo escultor griego Fidias (500 a. C. - 432 a. C.) aplicó phi al diseño de las esculturas que creó para el Partenón. Platón (428 a. C. - 347 a. C.) celebró la Proporción Áurea, y Euclides (365 a. C. - 300 a. C.) la vinculó con la construcción de un pentagrama, una figura de cinco lados.

En el 1970, El físico británico Roger Penrose incluyó la Proporción Áurea en sus Penrose Tiles, lo que permitió que las superficies estuvieran en mosaico en una simetría de cinco veces. En el 1980Se teorizó que phi apareció en cuasicristales, una forma de materia recién descubierta en ese momento.

La bella y el nautilus

Los estudios han demostrado que cuando los sujetos de prueba ven una serie de rostros, los que consideran más atractivos tienen proporciones de proporción áurea entre el ancho del rostro y el ancho de los ojos, la nariz y las cejas.

La espiral dorada se encuentra con frecuencia en las plantas probablemente porque, para que las plantas maximicen la exposición de sus hojas al sol, necesitan cultivarlas en ángulos no repetidos. La forma más fácil de garantizar esto es tener un valor irracional para el número de hojas, y muchas de las espirales que vemos en la naturaleza son consecuencia de este comportamiento. Las distribuciones siguen espirales logarítmicas, la forma matemática general de una espiral dorada.

Finalmente, ¿ha notado alguna vez que las portadas de muchos libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria muestran un caparazón de nautilus? El caparazón se puede describir como una espiral que se expande en la proporción áurea cada 180 grados. Aunque esto es solo una aproximación, a menudo se cita como un signo de la aparición de la Proporción Áurea en la naturaleza, y es por eso que está en la portada de los libros de texto de matemáticas.


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